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数据结构--树

| Tags: Data structure

摘要： 本文介绍了一种重要的数据结构树。绝大部分内容都是收集于网络博客。

树，计算机中比较纠结的一种数据结构。种类太多了，涉及到的算法也太多了。主要目的是汇总一下。参考了网上的几篇博客。12

二叉树

就是binary tree，搜索二叉数特点：

  1. 所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；
  2. 所有结点存储一个关键字；
  3. 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；

但二叉树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构, 例如下图也是一个二叉数，但是其查找效率已经是线性的了：

所以，使用二叉树还要考虑尽可能让二叉树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题； 实际使用的二叉数都是在原二叉树的基础上加上平衡算法, 即“平衡二叉树”;如何保持二叉树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键; 平衡算法是一种在二叉数中插入和删除结点的策略。

平衡二叉树

形态匀称的二叉树称为平衡二叉树 (Balanced binary tree), 其严格定义是：

一棵空树是平衡二叉树；若 T 是一棵非空二叉树，其左、右子树为 TL 和 TR ，令 hl 和 hr 分别为左、右子树的深度。当且仅当

  • TL 、 TR 都是平衡二叉树；
  • 并且满足公式

时，则 T 是平衡二叉树。

相应地定义 $ hl － hr $ 为二叉平衡树的平衡因子 (balance factor) 。因此，平衡二叉树上所有结点的平衡因子可能是 -1 ， 0 ， 1 。换言之，若一棵二叉树上任一结点的平衡因子的绝对值都不大于 1 ，则该树是就平衡二叉树。

可以采用动态平衡技术保持一个平衡二叉树。构造一个平衡二叉树的时候，也可以采用相同的方法，默认初始时，是一个空树，插入节点时，通过动态平衡技术对二叉树进行调整。

1.动态平衡技术

Adelson-Velskii 和 Landis 提出了一个动态地保持二叉排序树平衡的方法，其基本思想是： 在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，首先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，如果是因插入结点而破坏了树的平衡性，则找出其中最小不平衡子树，在保持排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的连接关系，以达到新的平衡。通常将这样得到的平衡二叉排序树简称为 AVL 树。

2.最小不平衡子树

以离插入结点最近、且平衡因子绝对值大于 1 的结点作根结点的子树。为了简化讨论，不妨假设二叉排序树的最小不平衡子树的根结点为 A ，则调整该子树的规律可归纳为下列四种情况：

  • LL 型：

新结点 X 插在 A 的左孩子的左子树里。调整方法见下图 (a) 。图中以 B 为轴心，将 A 结点从 B 的右上方转到 B 的右下侧，使 A 成为 B 的右孩子。

  • RR 型：

新结点 X 插在 A 的右孩子的右子树里。调整方法见下图 (b) 。图中以 B 为轴心，将 A 结点从 B 的左上方转到 B 的左下侧，使 A 成为 B 的左孩子。

  • LR 型：

新结点 X 插在 A 的左孩子的右子树里。调整方法见下图 (c) 。分为两步进行：第一步以 X 为轴心，将 B 从 X 的左上方转到 X 的左下侧，使 B 成为 X 的左孩子， X 成为 A 的左孩子。第二步跟 LL 型一样处理 ( 应以 X 为轴心 ) 。

  • RL 型：

新结点 X 插在 A 的右孩子的左子树里。调整方法见图 (d) 。分为两步进行：第一步以 X 为轴心，将 B 从 X 的右上方转到 X 的右下侧，使 B 成为 X 的右孩子， X 成为 A 的右孩子。第二步跟 RR 型一样处理 ( 应以 X 为轴心 ) 。3

B-树

具体讲解之前，有一点，再次强调下：B-树，即为B树。因为B树的原英文名称为B-tree，而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是一种一种树。而事实上是，B-tree就是指的B树。特此说明。

我们知道，B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉（下面你会看到，相对于二叉，B树每个内结点有多个分支，即多叉）平衡查找树。但在降低磁盘I/0操作方面要更好一些。

是一种多路搜索树（并不是二叉的）：

  1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
  2. 根结点的儿子数为[2, M]；
  3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；
  4. 每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；(至少2个关键字）
  5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
  6. 非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
  7. 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
  8. 所有叶子结点位于同一层；

如（m=3):

B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

B-树的特性：

  1. 关键字集合分布在整颗树中；
  2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
  3. 搜索有可能在非叶子结点结束；
  4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
  5. 自动层次控制；
  6. 可以充分利用计算机的局部性。

由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：

其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；

B+树

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

  1. 其定义基本与B-树同，除了：
  2. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
  3. 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；
  4. 为所有叶子结点增加一个链指针；
  5. 所有关键字都在叶子结点出现；

如：（M=3）

B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

B+的特性：

  1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；
  2. 不可能在非叶子结点命中；
  3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；
  4. 更适合文件索引系统；

数据库索引采用B+树的主要原因是 B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。正是为了解决这个问题，B+树应运而生。B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）。

B*树

是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

B*树在非叶子节点添加了指向兄弟的指针，对应数据库，可以方便对索引进行遍历。

红黑树

红黑树，一种二叉查找树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

前面说了，红黑树，是一种二叉查找树，既然是二叉查找树，那么它必满足二叉查找树的一般性质。 下面，在具体介绍红黑树之前，咱们先来了解下 二叉查找树的一般性质：

  1. 在一棵二叉查找树上，执行查找、插入、删除等操作，的时间复杂度为O（lgn）。因为，一棵由n个结点，随机构造的二叉查找树的高度为lgn，所以顺理成章，一般操作的执行时间为O（lgn）。至于n个结点的二叉树高度为lgn的证明，可参考算法导论 第12章 二叉查找树第12.4节。
  2. 但若是一棵具有n个结点的线性链，则此些操作最坏情况运行时间为O（n）。

而红黑树，能保证在最坏情况下，基本的动态几何操作的时间均为O（lgn）。

ok，我们知道，红黑树上每个结点内含五个域，color，key，left，right，p。如果相应的指针域没有，则设为NIL。

一般的，红黑树，满足以下性质，即只有满足以下全部性质的树，我们才称之为红黑树：

  1. 每个结点要么是红的，要么是黑的。
  2. 根结点是黑的。
  3. 每个叶结点（叶结点即指树尾端NIL指针或NULL结点）是黑的。每个叶子结点都带有两个空的黑色结点（被称为黑哨兵），如果一个结点n的只有一个左孩子，那么n的右孩子是一个黑哨兵；如果结点n只有一个右孩子，那么n的左孩子是一个黑哨兵。
  4. 如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。也就是说在一条路径上不能出现相邻的两个红色结点。
  5. 对于任一结点而言，其到叶结点树尾端NIL指针的每一条路径都包含相同数目的黑结点。

如下图所示，即是一颗红黑树(下图引自wikipedia)

关于红黑树的插入删除操作可以参考45.

通过证明可以得出红黑树的高度是 $\leq 2 \log (n + 1)$ 。

红黑树和之前所讲的AVL树类似，都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。自从红黑树出来后，AVL树就被放到了博物馆里，据说是红黑树有更好的效率，更高的统计性能。6 红黑树和AVL树的区别在于它使用颜色来标识结点的高度，它所追求的是局部平衡而不是AVL树中的非常严格的平衡。AVL树的复杂比起红黑树来说简直是小巫见大巫。红黑树是真正的变态级数据结构。

R树

1984年，加州大学伯克利分校的Guttman发表了一篇题为“R-trees: a dynamic index structure for spatial searching”的论文，向世人介绍了R树这种处理高维空间存储问题的数据结构。本文便是基于这篇论文写作完成的，因此如果大家对R树非常有兴趣，我想最好还是参考一下原著：）。为表示对这位牛人的尊重，给个引用先：

Guttman, A.; “R-trees: a dynamic index structure for spatial searching,” ACM, 1984, 14

R树在数据库等领域做出的功绩是非常显著的。它很好的解决了在高维空间搜索等问题。举个R树在现实领域中能够解决的例子：查找20英里以内所有的餐厅。如果没有R树你会怎么解决？一般情况下我们会把餐厅的坐标(x,y)分为两个字段存放在数据库中，一个字段记录经度，另一个字段记录纬度。这样的话我们就需要遍历所有的餐厅获取其位置信息，然后计算是否满足要求。如果一个地区有100家餐厅的话，我们就要进行100次位置计算操作了，如果应用到谷歌地图这种超大数据库中，这种方法便必定不可行了。

R树就很好的解决了这种高维空间搜索问题。它把B树的思想很好的扩展到了多维空间，采用了B树分割空间的思想，并在添加、删除操作时采用合并、分解结点的方法，保证树的平衡性。因此，R树就是一棵用来存储高维数据的平衡树。

OK，接下来，本文将详细介绍R树的数据结构以及R树的操作。至于R树的扩展与R树的性能问题，可以查阅相关论文。

如上所述，R树是B树在高维空间的扩展，是一棵平衡树。每个R树的叶子结点包含了多个指向不同数据的指针，这些数据可以是存放在硬盘中的，也可以是存在内存中。根据R树的这种数据结构，当我们需要进行一个高维空间查询时，我们只需要遍历少数几个叶子结点所包含的指针，查看这些指针指向的数据是否满足要求即可。这种方式使我们不必遍历所有数据即可获得答案，效率显著提高。下图1是R树的一个简单实例：

我们在上面说过，R树运用了空间分割的理念，这种理念是如何实现的呢？R树采用了一种称为MBR(Minimal Bounding Rectangle)的方法，在此我把它译作“最小边界矩形”。从叶子结点开始用矩形（rectangle）将空间框起来，结点越往上，框住的空间就越大，以此对空间进行分割。有点不懂？没关系，继续往下看。在这里我还想提一下，R树中的R应该代表的是Rectangle（此处参考wikipedia上关于R树的介绍），而不是大多数国内教材中所说的Region（很多书把R树称为区域树，这是有误的）。我们就拿二维空间来举例。下图是Guttman论文中的一幅图：

我来详细解释一下这张图。先来看下图，首先我们假设所有数据都是二维空间下的点，图中仅仅标志了R8区域中的数据，也就是那个shape of data object。别把那一块不规则图形看成一个数据，我们把它看作是多个数据围成的一个区域。为了实现R树结构，我们用一个最小边界矩形恰好框住这个不规则区域，这样，我们就构造出了一个区域：R8。R8的特点很明显，就是正正好好框住所有在此区域中的数据。其他实线包围住的区域，如R9，R10，R12等都是同样的道理。这样一来，我们一共得到了12个最最基本的最小矩形。这些矩形都将被存储在子结点中。下一步操作就是进行高一层次的处理。我们发现R8，R9，R10三个矩形距离最为靠近，因此就可以用一个更大的矩形R3恰好框住这3个矩形。同样道理，R15，R16被R6恰好框住，R11，R12被R4恰好框住，等等。所有最基本的最小边界矩形被框入更大的矩形中之后，再次迭代，用更大的框去框住这些矩形。我想大家都应该理解这个数据结构的特征了。用地图的例子来解释，就是所有的数据都是餐厅所对应的地点，先把相邻的餐厅划分到同一块区域，划分好所有餐厅之后，再把邻近的区域划分到更大的区域，划分完毕后再次进行更高层次的划分，直到划分到只剩下两个最大的区域为止。要查找的时候就方便了。

下面就可以把这些大大小小的矩形存入我们的R树中去了。根结点存放的是两个最大的矩形，这两个最大的矩形框住了所有的剩余的矩形，当然也就框住了所有的数据。下一层的结点存放了次大的矩形，这些矩形缩小了范围。每个叶子结点都是存放的最小的矩形，这些矩形中可能包含有n个数据。

一棵R树满足如下的性质：

  1. 除非它是根结点之外，所有叶子结点包含有m至M个记录索引（条目）。作为根结点的叶子结点所具有的记录个数可以少于m。通常，m=M/2。

  2. 对于所有在叶子中存储的记录（条目），I是最小的可以在空间中完全覆盖这些记录所代表的点的矩形（注意：此处所说的“矩形”是可以扩展到高维空间的）。

  3. 每一个飞叶子结点拥有m至M个孩子结点，除非它是根结点。

  4. 对于在非叶子结点上的每一个条目，i是最小的可以在空间上完全覆盖这些条目所代表的店的矩形（同性质2）。

  5. 所有叶子结点都位于同一层，因此R树为平衡树。

R树是一种能够有效进行高维空间搜索的数据结构，它已经被广泛应用在各种数据库及其相关的应用中。但R树的处理也具有局限性，它的最佳应用范围是处理2至6维的数据，更高维的存储会变得非常复杂，这样就不适用了。近年来，R树也出现了很多变体，R*树就是其中的一种。这些变体提升了R树的性能，感兴趣的读者可以参考相关文献。

  1. http://www.cnblogs.com/oldhorse/archive/2009/11/16/1604009.html↩

  2. http://blog.csdn.net/v\_july\_v/article/details/6530142↩

  3. http://sjjg.js.zwu.edu.cn/SFXX/chazhao/chazhao7.3.2.html↩

  4. http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6105630↩

  5. http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A2%E9%BB%91%E6%A0%91↩

  6. http://blog.csdn.net/yiweibin/article/details/5400202↩

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